题目内容
【题目】设抛物线的焦点为
,准线为
,点
在抛物线
上,已知以点
为圆心,
为半径的圆
交
于
两点.
(Ⅰ)若,
的面积为4,求抛物线
的方程;
(Ⅱ)若三点在同一条直线
上,直线
与
平行,且
与抛物线
只有一个公共点,求直线
的方程.
【答案】(Ⅰ) (Ⅱ)
,
.
【解析】试题分析:
(Ⅰ)由题意结合抛物线的对称性可知是等腰三角形,设准线与
轴交于点
,结合抛物线的性质可得
,求解关于实数p的方程可得抛物线方程为
;
(Ⅱ)由对称性不妨设,则
,结合中点坐标公式有B
,由抛物线准线方程的性质有
,则A
,
,结合导函数的性质可得切点坐标为
,则直线
的方程为
,
.
试题解析:
(Ⅰ)由对称性知, 是等腰三角形.
∵,点
到准线的距离为
,设准线与
轴交于点
,
即,
,
∴.
∴抛物线方程为;
(Ⅱ)由对称性不妨设,则
.
∵点关于点
对称,
∴点的坐标为
.
∵点在准线上,
∴.
∴.
∴点坐标为
.
∴.
又∵直线与直线
平行,
∴.
由已知直线与抛物线相切,设切点为
,
∴.
∴.
∴切点.
∴直线的方程为
,即
.
由对称性可知,直线有两条,分别为
,
.
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