题目内容
【题目】已知函数有极值,且在
处的切线与直线
垂直.
(1)求实数的取值范围;
(2)是否存在实数,使得函数
的极小值为
.若存在,求出实数
的值;若不存在,请说明理由.
【答案】(1)(2)存在实数
,使得函数
的极小值为
.
【解析】试题分析:(1),因为在
处的切线与直线
垂直,所以
,得
与
的关系
。因为 函数
有极值,故方程
有两个不等实根,其判别式大于0,结合
,可求实数
的取值范围;(2)根据导函数的正负,求函数的极小值、极小值点,令极小值等于2,求得极值点,进而求实数
的值。
试题解析:(1)∵,∴
,
由题意,得,∴
.①
∵有极值,故方程
有两个不等实根,
∴,∴
.②
由①②可得,
或
.
故实数的取僮范围是
.
(2)存在.
∵.令
,
.
,
随
值的变化情况如下表:
+ | - | + | |||
↑ | 极大值 | ↓ | 极小值 | ↑ |
∴,∴
或
.
若,即
,则
(舍).
若,又
,∴
,∴
,
∵,∴
,∴
,∴
.
∴存在实数,使得函数
的极小值为
.
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