Question

5．已知关于x的不等式mx²-（m+1）x+n＜0．
（1）若不等式的解集是{x|-1＜x＜3}，求m+n的值；
（2）若n=1，求此不等式的解集．

Answer 1

分析 （1）根据一元二次不等式的解集得到与方程根的关系，利用根与系数的关系进行求解即可．
（2）根据一元二次不等式的解法进行求解即可，注意讨论参数m的取值．

解答 解：（1）若不等式的解集是{x|-1＜x＜3}，
则-1，3是对应方程mx²-（m+1）x+n=0的两个根，且m＞0，
则$\left\{\begin{array}{l}{-1+3=-\frac{-（m+1）}{m}}\\{-1×3=\frac{n}{m}}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{2m=m+1}\\{n=-3m}\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}{m=1}\\{n=-3}\end{array}\right.$
则m+n=1-3=-2；
（2）若n=1，则不等式等价为mx²-（m+1）x+1＜0，
若m=0，则不等式等价为-x+1＜0，则x＞1，
若m≠0，
则不等式等价为（x-1）（mx-1）＜0，
即m（x-1）（x-$\frac{1}{m}$）＜0，
若m＜0，则不等式等价为（x-1）（x-$\frac{1}{m}$）＞0，解得x＞1或x＜$\frac{1}{m}$，
若m＞0，则不等式等价为（x-1）（x-$\frac{1}{m}$）＜0，
若$\frac{1}{m}$=1，即m=1时，不等式等价为（x-1）²＜0，此时不等式无解，
若$\frac{1}{m}$＞1，即0＜m＜1，不等式的解为1＜x＜$\frac{1}{m}$，
若$\frac{1}{m}$＜1，即m＞1，不等式的解为$\frac{1}{m}$＜x＜1，
综上若m=0，不等式的解集为（1，+∞），
若m=1，不等式的解集为∅，
若m＞1，不等式的解集为（$\frac{1}{m}$，1），
若0＜m＜1，不等式的解集为（1，$\frac{1}{m}$）．

点评 本题主要考查不等式的求解，根据一元二次不等式的解法是解决本题的关键．注意要对m进行分类讨论．