Question

17．已知实数x，y满足不等式$\left\{\begin{array}{l}{2x-y≥0}\\{x+y-4≥0}\\{x≤2}\end{array}\right.$，则$\frac{2{x}^{2}-{y}^{2}}{{x}^{2}+{y}^{2}}$的取值范围是[-$\frac{2}{5}$，1]．

Answer 1

分析 令k=$\frac{y}{x}$，则$\frac{2{x}^{2}-{y}^{2}}{{x}^{2}+{y}^{2}}$=$\frac{3}{1+{k}^{2}}-1$，根据k的几何意义得出k的范围，从而得出目标函数的范围．

解答 解：作出约束条件表示的可行域如图：
设k=$\frac{y}{x}$，即y=kx，则直线y=kx过点B时，k取得最小值，
当直线y=kx与直线2x-y=0重合时，k取得最大值2．
解方程组$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{x+y-4=0}\end{array}\right.$得x=2，y=2．
∴k的最小值为1．
∵$\frac{2{x}^{2}-{y}^{2}}{{x}^{2}+{y}^{2}}$=$\frac{2-{k}^{2}}{1+{k}^{2}}$=$\frac{3}{1+{k}^{2}}-1$．
∴当k=1时，$\frac{2{x}^{2}-{y}^{2}}{{x}^{2}+{y}^{2}}$取得最大值$\frac{1}{2}$；
当k=2时，$\frac{2{x}^{2}-{y}^{2}}{{x}^{2}+{y}^{2}}$取得最小值-$\frac{2}{5}$．
故答案为：[-$\frac{2}{5}$，$\frac{1}{2}$]．

点评 本题考查了简单线性规划，找到目标函数的几何意义是解题关键．