Question

3．若直线y=x+$\sqrt{6}$与椭圆x²+$\frac{{y}^{2}}{{m}^{2}}$=1（m＞0且m≠1）只有一个公共点，则该椭圆的长轴长为2$\sqrt{5}$．

Answer 1

分析 直线方程与椭圆方程联立：（m²+1）x²+2$\sqrt{6}$x+6-m²=0，根据直线y=x+$\sqrt{6}$与椭圆x²+$\frac{{y}^{2}}{{m}^{2}}$=1（m＞0且m≠1）只有一个公共点，可得△=0，解出即可得出．

解答 解：联立$\left\{\begin{array}{l}{y=x+\sqrt{6}}\\{{x}^{2}+\frac{{y}^{2}}{{m}^{2}}=1}\end{array}\right.$，化为：（m²+1）x²+2$\sqrt{6}$x+6-m²=0，
∵直线y=x+$\sqrt{6}$与椭圆x²+$\frac{{y}^{2}}{{m}^{2}}$=1（m＞0且m≠1）只有一个公共点，
∴△=24-4（m²+1）（6-m²）=0，
化为：m⁴-5m²=0，m＞0且m≠1，
解得m=$\sqrt{5}$．
∴该椭圆的长轴长为2$\sqrt{5}$．
故答案为：2$\sqrt{5}$．

点评 本题考查了直线与椭圆相切与判别式的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．