Question

如图，四棱椎P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是矩形，PA=AB=1，PD与平面ABCD所成的角是30°，点F是PB的中点，点E在边BC上移动．
（Ⅰ）当点E为BC的中点时，试判断EF与平面PAC的位置关系，并说明理由；
（Ⅱ）证明：无论点E在边BC的何处，都有AF⊥PE；
（Ⅲ）求当BE的长为多少时，二面角P-DE-A的大小为45°．

Answer 1

考点：二面角的平面角及求法,空间中直线与平面之间的位置关系

专题：综合题,空间位置关系与距离,空间角

分析：（Ⅰ）由题设中的条件E，F为中点可得EF∥PC，由此可判断出EF与平面PAC的位置关系是平行；
（Ⅱ）由题意可得此题是证明线面垂直的问题，即证明直线AF垂直于平面PBE，而当点E在BC上无论怎样运动时直线PE都在此平面内，因此只需证明已知直线垂直于平面内的两条相交直线即可；
（Ⅲ）过A作AG⊥DE于G，连PG，根据二面角的定义可得∠PGA是二面角P-DE-A的平面角，因为∠PGA=45°且PD与平面ABCD所成角是30°，所以∠PDA=30°，进而可得一些有关相等的长度，设BE=x，则GE=x，CE=

3

-x，利用△DCE是直角三角形．

解答： （Ⅰ）解：当点E为BC的中点时，EF与平面PAC平行．
∵在△PBC中，E、F分别为BC、PB的中点，∴EF∥PC又EF?平面PAC
而PC?平面PAC
∴EF∥平面PAC．
（Ⅱ）证明：∵PA⊥平面ABCD，BE?平面ABCD，
∴EB⊥PA，
又∵EB⊥AB，AB∩AP=A，AB，AP?平面PAB，
∴EB⊥平面PAB，
又∵AF?平面PAB，∴AF⊥BE，
又∵PA=AB=1，点F是PB的中点，
∴AF⊥平面PBE．
∵PE?平面PBE，
∴AF⊥PE．
（Ⅲ）解：过A作AG⊥DE于G，连PG，
∵DE⊥PA，∴DE⊥平面PAG，则∠PGA是二面角P-DE-A的平面角，
∴∠PGA=45°
∵PD与平面ABCD所成角是30°，
∴∠PDA=30°，
∴AD=

3

，PA=AB=1．
∴AG=1，DG=

2

，
设BE=x，则GE=x，CE=

3

-x，
在Rt△DCE中，（

2

+x）²=（

3

-x）²+1²，
得BE=x=

3

-

2

．

点评：解决此类问题的关键是熟悉几何体的结构特征，得到有关线面垂直、线线垂直的结论，以及利用这些垂直关系解决二面角问题．