Question

8．已知函数f（x）=x³+ax²+bx在x=-$\frac{2}{3}$与x=1处都取得极值．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）求函数f（x）在区间[-2，3]的最大值与最小值．

Answer 1

分析 （1）根据所给的函数的解析式，对函数求导，使得导函数等于0，得到关于a，b的关系式，解方程组即可，写出函数的解析式．
（2）对函数求导，写出函数的导函数等于0的x的值，列表表示出在各个区间上的导函数和函数的情况，做出极值，把极值同端点处的值进行比较得到结果．

解答 解：（1）f（x）=x³+ax²+bx，f′（x）=3x²+2ax+b，
由f′（-$\frac{2}{3}$）=$\frac{12}{9}$-$\frac{4}{3}$a+b=0，f′（1）=3+2a+b=0，
得a=-$\frac{1}{2}$，b=-2，
经检验，a=$\frac{1}{2}$，b=-2符合题意，
所以，所求的函数解析式为f（x）=x³-$\frac{1}{2}$x²-2x；
（2）由（1）得f′（x）=3x²-x-2=（3x+2）（x-1），
列表

x	（-2，-$\frac{2}{3}$）	-$\frac{2}{3}$	（-$\frac{2}{3}$，1）	1	（1，3）
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	↑	极大值	↓	极小值	↑

且f（-2）=-6，f（-$\frac{2}{3}$）=$\frac{22}{27}$，f（1）=-$\frac{3}{2}$，f（0）=0，f（3）=$\frac{33}{2}$，f（-2）=-6，
所以当x∈[-2，2]时，f（x）_max=f（3）=$\frac{33}{2}$，f（x）_min=f（-2）=-6．

点评 本题考查函数的最值问题，解题的关键是写出函数的极值和函数在两个端点处的值，把这些值进行比较，得到最大值和最小值．