题目内容
19．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，已知a+b=10，cosC是方程所2x2-3x-2=0的一个根，求△ABC周长的最小（ ）| A． | 10+5$\sqrt{3}$ | B． | 15 | C． | 10+2$\sqrt{3}$ | D． | 20 |
分析 先由条件求得 cosC=-$\frac{1}{2}$，再由余弦定理可得 c2=（a-5）2+75，利用二次函数的性质求得c的最小值，即可求得△ABC周长a+b+c 的最小值．
解答 解：解方程2x2-3x-2=0可得x=2，或 x=-$\frac{1}{2}$．
∵在△ABC中，a+b=10，cosC是方程2x2-3x-2=0的一个根，
∴cosC=-$\frac{1}{2}$．
由余弦定理可得 c2=a2+b2-2ab•cosC=（a+b）2-ab，
∴c2=（a-5）2+75．
故当a=5时，c最小为$\sqrt{75}$=5$\sqrt{3}$，
故△ABC周长a+b+c 的最小值为 10+5$\sqrt{3}$．
故选：A．
点评 本题主要考查一元二次方程的解法、二次函数的性质以及余弦定理的应用，属于中档题．
练习册系列答案
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7．对于函数f（x），若任给实数a、b、c，f（a），f（b），f（c）为某一三角形三边长，则称f（x）为“可构造三角形函数”．已知函数f（x）=$\frac{{{2^x}+t}}{{{2^x}+1}}$是“可构造三角形函数”，则实数t的取值范围是（ ）
| A． | [${\frac{1}{2}$，2] | B． | [0，1] | C． | [1，2] | D． | [0，+∞） |
如图所示是沿圆锥的两条母线将圆锥削去一部分后所得几何体的三视图，其体积为$\frac{16π}{9}+\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$，则圆锥的母线长为2$\sqrt{2}$．