Question

6．α是三角形的内角，则函数y=-2sin²α-3cosα+7的最值情况是（　　）

• A． 既没有最大值，又没有最小值
• B． 既有最大值10，又有最小值$\frac{31}{8}$
• C． 只有最大值10?
• D． 只有最小值$\frac{31}{8}$

Answer 1

分析 由α的范围求得cosα的范围，利用平方关系化正弦为余弦，然后换元，再由配方法求得函数的最值得答案．

解答 解：∵α是三角形的内角，∴α∈（0，π），则cosα∈（-1，1），
则y=-2sin²α-3cosα+7=-2（1-cos²α）-3cosα+7
=2cos²α-3cosα+5．
令t=cosα（-1＜t＜1），
则y=$2{t}^{2}-3t+5=2（t-\frac{3}{4}）^{2}+\frac{31}{8}$．
∴当t=$\frac{3}{4}$时，函数有最小值$\frac{31}{8}$，无最大值．
故选：D．

点评 本题考查三角函数的最值，训练了配方法求二次函数的最值，是中档题．