Question

如图,在长方体ABCDA₁B₁C₁D₁中,AD=AA₁=1,AB=2,点E在棱AB上.

(1)求异面直线D₁E与A₁D所成的角;

(2)若二面角D₁ECD的大小为45°,求点B到平面D₁EC的距离.

Answer 1

解:建立如图所示的空间直角坐标系.

(1)由A₁(1,0,1),得

=(1,0,1),

设E(1,a,0),又D₁(0,0,1),则=(1,a,-1).

∵·=1+0-1=0,

∴⊥,

则异面直线D₁E与A₁D所成的角为90°.

(2)m=(0,0,1)为平面DEC的一个法向量,

设n=(x,y,z)为平面CED₁的法向量,则

cos<m,n>=

=

=cos 45°

=,

∴z²=x²+y²,①

由C(0,2,0),得=(0,2,-1),

则n⊥,

即n·=0,

∴2y-z=0,②

由①、②,可取n=(,1,2),

又=(1,0,0),

所以点B到平面D₁EC的距离

d===.