Question

（2012•珠海二模）已知圆C方程：（x-1）²+y²=9，垂直于x轴的直线L与圆C相切于N点（N在圆心C的右侧），平面上有一动点P，若PQ⊥L，垂足为Q，且

|PC|

|PQ|

=

1

2

；
（1）求点P的轨迹方程；
（2）已知D为点P的轨迹曲线上第一象限弧上一点，O为原点，A、B分别为点P的轨迹曲线与x，y轴的正半轴的交点，求四边形OADB的最大面积及D点坐标．

Answer 1

分析：（1）设出P点坐标，利用

|PC|

|PQ|

=

1

2

，建立方程，化简可得点P的轨迹方程；
（2）先表示出四边形OADB的面积，利用辅助角公式化简，结合角的范围，即可求得结论．

解答：解：（1）设P点坐标为（x，y），则PQ=|4-x|，…（2分），PC=

(x-1)2+y2

…（3分）
因为

|PC|

|PQ|

=

1

2

，所以

(x-1)2+y2

|4-x|

=

1

2

，…（4分）
化简得

x2

4

+

y2

3

=1…（5分）
所以点P的轨迹方程是

x2

4

+

y2

3

=1…（6分）
（2）依题意得，A点坐标为（2，0），B点坐标为(0，

3

)…（7分）
设D点坐标为(2cosθ，

3

sinθ)，(0＜θ＜

π

2

)，…（8分）
则四边形OADB的面积S_{四边形OADB}=S_△OAD+S_△OBD=

1

2

×2×

3

sinθ+

1

2

×

3

×2cosθ…（10分）
=

3

(sinθ+cosθ)=

6

sin(θ+

π

4

)…（11分）
又因为0＜θ＜

π

2

，所以

π

4

＜θ+

π

4

＜

3π

4

…（12分）
所以

2

2

＜sin(θ+

π

4

)≤1，即

3

＜

6

sin(θ+

π

4

)≤

6

所以四边形OADB的最大面积为

6

，…（13分）
当四边形OADB的面积取最大时，θ+

π

4

=

π

2

，即θ=

π

4

，
此时D点坐标为(

2

，

6

2

)…（14分）

点评：本题考查轨迹方程的求解，考查三角函数知识，考查学生的计算能力，正确表示四边形OADB的面积是关键．