Question

（2012•珠海二模）已知函数f(x)=

1

3

x3+ax2+bx（a，b∈R）．
（Ⅰ）若曲线C：y=f（x）经过点P（1，2），曲线C在点P处的切线与直线x+2y-14=0垂直，求a，b的值；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，试求函数g(x)=(m2-1)[f(x)-

7

3

x]（m为实常数，m≠±1）的极大值与极小值之差；
（Ⅲ）若f（x）在区间（1，2）内存在两个不同的极值点，求证：0＜a+b＜2．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求导函数，利用曲线C在点P处的切线的斜率为2及曲线C：y=f（x）经过点P（1，2），建立方程，即可求得a，b的值；
（Ⅱ）求导函数，确定函数的单调性，分类讨论，确定函数的极值，从而可得g（x）_极大-g（x）_极小；
（Ⅲ）因为f（x）在区间（1，2）内存在两个极值点，所以f′（x）=0，即x²+2ax+b=0在（1，2）内有两个不等的实根，由此建立不等式，从而可得结论．

解答：（Ⅰ）解：求导函数可得f'（x）=x²+2ax+b，
∵直线x+2y-14=0的斜率为-

1

2

，∴曲线C在点P处的切线的斜率为2，∴f'（1）=1+2a+b=2…①
∵曲线C：y=f（x）经过点P（1，2），∴f(1)=

1

3

+a+b=2…②
由①②得：a=-

2

3

，b=

7

3

…（3分）
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知：f(x)=

1

3

x3-

2

3

x2+

7

3

x，∴g(x)=

m2-1

3

(x3-2x2)，∴g′(x)=(m2-1)x(x-

4

3

)，由g'（x）=0⇒x=0，或x=

4

3

．
当m²-1＞0，即m＞1，或m＜-1时，x，g'（x），g（x）变化如下表

x	（-∞，0）	0	(0， 4 3 )	4 3	( 4 3 ，+∞)
g'（x）	+	0	-	0	+
g（x）		极大值		极小值

由表可知：g(x)极大-g(x)极小=g(0)-g(

4

3

)=0-[-

32

81

(m2-1)]=

32

81

(m2-1)…（5分）
当m²-1＜0，即-1＜m＜1时，x，g'（x），g（x）变化如下表

x	（-∞，0）	0	(0， 4 3 )	4 3	( 4 3 ，+∞)
g'（x）	-	0	+	0	-
g（x）		极小值		极大值

由表可知：g(x)极大-g(x)极小=g(

4

3

)-g(0)=-

32

81

(m2-1)-0=-

32

81

(m2-1)…（7分）
综上可知：当m＞1，或m＜-1时，g（x）_极大-g（x）_极小=

32

81

(m2-1)；
当-1＜m＜1时，g（x）_极大-g（x）_极小=-

32

81

(m2-1)…（8分）
（Ⅲ）证明：因为f（x）在区间（1，2）内存在两个极值点，所以f′（x）=0，
即x²+2ax+b=0在（1，2）内有两个不等的实根．
∴

1+2a+b＞0，(1) 4+4a+b＞0，(2) 1＜-a＜2，(3) △=4(a2-b)＞0，(4)

 …（10分）
由 （1）+（3）得：a+b＞0，…（11分）
由（4）得：a+b＜a²+a，由（3）得：-2＜a＜-1，
∴a²+a=（a+

1

2

）²-

1

4

＜2，∴a+b＜2．
故0＜a+b＜2…（12分）

点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性与极值，考查分类讨论的数学思想，考查不等式的证明，正确求导是关键．