Question

12．如图，在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，已知它的底面边长为10，高为20．
（1）求正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的表面积与体积；
（2）若P、Q分别是BC、CC₁的中点，求异面直线PQ与AC所成角的大小（结果用反三角函数表示）．

Answer 1

分析 （1）由${S_{正三棱柱ABC-{A_1}{B_1}{C_1}表}}=2{S_{△ABC}}+3{S_{矩形AB{B_1}{A_1}}}$，能求出正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的表面积，再由底面积乘高能求出正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的体积．
（2）连结BA₁，BC₁，则BC₁∥PQ，A₁C₁∥AC，从而∠BC₁A₁等于异面直线PQ与AC所成角，由此能求出异面直线PQ与AC所成角的大小．

解答 （本题满分12分） 本题共2个小题，每小题（6分）．
解：（1）${S_{正三棱柱ABC-{A_1}{B_1}{C_1}表}}=2{S_{△ABC}}+3{S_{矩形AB{B_1}{A_1}}}=2×\frac{{\sqrt{3}}}{4}×{10^2}+3×10×20=600+50\sqrt{3}$，…（3分）
${V_{正三棱柱ABC-{A_1}{B_1}{C_1}}}={S_{△ABC}}•A{A_1}=\frac{{\sqrt{3}}}{4}×{10^2}×20=500\sqrt{3}$…（6分）
（2）连结BA₁，BC₁，则BC₁∥PQ，又A₁C₁∥AC，
故∠BC₁A₁等于异面直线PQ与AC所成角．…（8分）
由已知得$B{C_1}=B{A_1}=10\sqrt{5}，\;\;{A_1}{C_1}=10$，
故$cos∠B{C_1}{A_1}=\frac{{B{C_1}^2+{A_1}{C_1}^2-B{A_1}^2}}{{2•B{C_1}•{A_1}{C_1}}}=\frac{{\sqrt{5}}}{10}$．
于是异面直线PQ与AC所成角的大小为$arccos\frac{{\sqrt{5}}}{10}$．…（12分）

点评 本题考查正三棱柱的体积和表面积的求法，考查异面直线所成角的大小的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．