题目内容

在一定面积的水域中养殖某种鱼类，每个网箱的产量P是网箱个数x的一次函数，如果放置4个网箱，则每个网箱的产量为24吨；如果放置7个网箱，则每个网箱的产量为18吨，由于该水域面积限制，最多只能放置12个网箱．已知养殖总成本为50+2x万元．
（1）试问放置多少个网箱时，总产量Q最高？
（2）若鱼的市场价为1万元/吨，应放置多少个网箱才能使每个网箱的平均收益最大？

解：（1）设p=ax+b，由已知得 $\text{[math]}$ ，∴ $\text{[math]}$
∴p=-2x+32
∴Q=px=（-2x+32）x=-2（x-8）²+128（x∈N₊，x≤12）
∴当x=8时，f（x）最大
即放置8个网箱时，可使综产量达到最大
（2）收益为y=（-2x²+32）×1-（50+2x）（x∈N₊，x≤12）
∴ $\text{[math]}$ （x∈N₊，x≤12）
∵ $\text{[math]}$ （当且仅当 $\text{[math]}$ ，即x=5时取等号）
∴y≤-20+30=10
即x=5时，y_max=10
分析：（1）设出一次函数，利用条件，求出函数解析式，即可求得总产量函数，再利用配方法，即可求得最大值；
（2）确定总收益函数，求得平均收益，利用基本不等式求最值．
点评：本题考查函数模型的构建，考查基本不等式的运用，解题的关键是建立函数模型，属于中档题．

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