Question

函数f(x)=2

1

x2+2x

的值域为______．

Answer 1

∵函数f(x)=2

1

x2+2x

的值域，
∴f（x）的值域{x|x≠0且x≠-2}，
若x＞0，

1

x2+2x

＞0，
因为x²+2x=（x+1）²-1≥0，所以f(x)=2

1

x2+2x

＞2⁰=1；
若-2＜x＜0时，
∵x²+2x=（x+1）²-1，∴-1≤x²+2x＜0，
∴

1

x2+2x

≤-1，∴f(x)=2

1

x2+2x

≤2^-1=

1

2

，
因为2

1

x2+2x

＞0，∴0＜f（x）≤

1

2

，
若x＜-2，x²+2x＞0，可得

1

x2+2x

＞0，可得f（x）＞2⁰=1，
综上：f（x）∈(0，

1

2

]∪(1，+∞)；
故答案为：(0，

1

2

]∪(1，+∞)