Question

8．已知函数f（x）对任意的x∈R，都有f（-x）+f（x）=-6，且当x≥0时，f（x）=2^x-4，则使得f（3x-x²）＜0成立的x的取值范围是（　　）

• A． （0，3）
• B． （-∞，0）∪（3，+∞）
• C． （1，2）
• D． （-∞，1）∪（2，+∞）

Answer 1

分析 求出f（x）的解析式，判定f（x）的单调性和零点，利用单调性列不等式组解出x．

解答 解：当x＜0时，-x＞0，
∴f（x）=-6-f（-x）=-6-2^-x+4=-2-$\frac{1}{{2}^{x}}$，
∴f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-2-\frac{1}{{2}^{x}}，x＜0}\\{{2}^{x}-4，x≥0}\end{array}\right.$，
∴f（x）＜0在（-∞，0）上恒成立，
f（x）在[0，+∞）上是增函数，且f（2）=0，
∵f（3x-x²）＜0，
∴3x-x²＜2，
解得x＜1或x＞2，
故选D．

点评 本题考查了函数解析式的求解，函数单调性的判断与应用，属于中档题．