Question

9．如图，直线AB经过圆O上的点C，并且OA=OB，CA=CB，圆O交直线OB于点E、D，连接EC、CD．
（Ⅰ）求证：直线AB是圆O的切线；
（Ⅱ）若tan∠CED=$\frac{1}{3}$，圆O的半径为2，求OA的长．

Answer 1

分析 （I）利用等腰三角形的性质和切线的定义即可证明；
（II）利用圆的性质可得$\frac{CD}{EC}$=$\frac{1}{3}$．再利用切线的性质可得△CBD∽△EBC，于是$\frac{BD}{BC}$=$\frac{CD}{EC}$=$\frac{1}{3}$．设BD=x，BC=3x，利用切割线定理可得BC²=BD•BE，代入解出即可．

解答 （Ⅰ）证明：如图，连接OC，
∵OA=OB，CA=CB，∴OC⊥AB，∴AB是⊙O的切线．
（Ⅱ）解：∵ED是直径，∴∠ECD=90°，
在Rt△BCD中，∵tan∠CED=$\frac{1}{3}$，∴$\frac{CD}{EC}$=$\frac{1}{3}$．
∵AB是⊙O的切线，
∴∠BCD=∠E．
又∵∠CBD=∠EBC，
∴△CBD∽△EBC，∴$\frac{BD}{BC}$=$\frac{CD}{EC}$=$\frac{1}{3}$．
设BD=x，BC=3x，
又BC²=BD•BE，∴（3x）²=x•（x+4）．
解得：x₁=0，x₂=$\frac{1}{2}$，
∵BD=x＞0，∴BD=$\frac{1}{2}$．
∴OA=OB=BD+OD=$\frac{5}{2}$．

点评 本题考查了等腰三角形的性质、切线的定义、圆的性质、相似三角形的性质、切割线定理等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．