Question

14．已知椭圆x²+my²=1的焦点在y轴上．
（1）若长轴长是短轴长的2倍．求m的值；
（2）在（1）的条件下，设P为短轴上的右顶点，F₁，F₂为椭圆的焦点，问△PF₁F₂能否成为直角三角形，并证明你的结论．

Answer 1

分析 （1）由题意可得0＜m＜1，由椭圆方程可得a，b，解m的方程可得m的值；
（2）△PF₁F₂不能成为直角三角形．求得椭圆的右顶点和焦点，以及△PF₁F₂的三边长，由勾股定理的逆定理，即可判断．

解答 解：（1）椭圆x²+my²=1的焦点在y轴上，
即有0＜m＜1，
由椭圆方程x²+$\frac{{y}^{2}}{\frac{1}{m}}$=1可得，
b=1，a=$\sqrt{\frac{1}{m}}$，
由长轴长是短轴长的2倍，可得$\sqrt{\frac{1}{m}}$=2，
解得m=$\frac{1}{4}$；
（2）△PF₁F₂不能成为直角三角形．
理由：椭圆方程x²+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1，
可得a=2，b=1，c=$\sqrt{3}$，
即有短轴的右顶点为P（1，0），
焦点为F₁（0，-$\sqrt{3}$），F₂（0，$\sqrt{3}$），
|PF₁|=|PF₂|=2，|F₁F₂|=2$\sqrt{3}$，
由|PF₁|²+|PF₂|²≠|F₁F₂|²，
可得△PF₁F₂不为直角三角形．

点评 本题考查椭圆的方程和性质及运用，考查直角三角形的判断，化简整理的运算能力，属于基础题．