已知椭圆E:$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1的左焦点为F.点F到直线ax+by=0的距离为$\frac{2\sqrt{5}}{5}$.椭圆E的离心率为$\frac{2\sqrt{2}}{3}$.过点F的直线11交椭圆E于A.B两点.过F作直线l2交椭圆E于C.D两点.且l1⊥l2．(I)求椭圆E的方程,(Ⅱ)求四边� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

1．已知椭圆E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的左焦点为F，点F到直线ax+by=0的距离为$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，椭圆E的离心率为$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，过点F的直线1₁交椭圆E于A，B两点，过F作直线l₂交椭圆E于C、D两点，且l₁⊥l₂．
（I）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）求四边形ACBD面积的最小值．

分析（I）设F（-c，0），运用点到直线的距离公式和离心率公式，结合椭圆的基本量的关系，解方程可得a，b，进而得到椭圆方程；
（Ⅱ）由椭圆方程可得焦点F坐标，讨论直线l₁的斜率为0，直线l₂的斜率不存在，求得AB，CD的长，可得面积；设直线l₁的方程为y=k（x+$\frac{2\sqrt{2}}{3}$），代入椭圆方程，运用韦达定理和焦半径公式，可得弦长AB，将k换为-$\frac{1}{k}$，可得CD的长，由四边形的面积公式S=$\frac{1}{2}$|AB|•|CD|，化简整理，可得k的式子，运用换元法和基本不等式，即可得到S的范围，进而得到面积的最小值．

解答解：（I）设F（-c，0），
由点F到直线ax+by=0的距离为$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，可得
$\frac{|-ac|}{\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，①
椭圆E的离心率为$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，即有e=$\frac{c}{a}$=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$②
又a²-b²=c²，③
由①②③解得a=1，b=$\frac{1}{3}$，c=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，
则椭圆方程为x²+9y²=1；
（Ⅱ）由椭圆方程可得F（-$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，0），
若直线l₁的斜率为0，直线l₂的斜率不存在，
则|AB|=2a=2，
由x=-c，代入椭圆方程可得y=±$\frac{{b}^{2}}{a}$=±$\frac{1}{9}$，即有|CD|=$\frac{2}{9}$，
可得四边形ACBD面积为$\frac{1}{2}$×2×$\frac{2}{9}$=$\frac{2}{9}$；
设直线l₁的斜率为k，可得方程为y=k（x+$\frac{2\sqrt{2}}{3}$），
代入椭圆方程x²+9y²=1，可得（1+9k²）x²+12$\sqrt{2}$k²x+8k²-1=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），可得x₁+x₂=-$\frac{12\sqrt{2}{k}^{2}}{1+9{k}^{2}}$，
由椭圆的焦半径公式可得|AB|=（a+ex₁）+（a+ex₂）=2a+e（x₁+x₂）
=2-$\frac{2\sqrt{2}}{3}$×$\frac{12\sqrt{2}{k}^{2}}{1+9{k}^{2}}$=$\frac{2（1+{k}^{2}）}{1+9{k}^{2}}$，
将k换为-$\frac{1}{k}$，可得|CD|=$\frac{2（1+\frac{1}{{k}^{2}}）}{1+\frac{9}{{k}^{2}}}$，
则四边形ACBD面积为S=$\frac{1}{2}$|AB|•|CD|=2•$\frac{2+{k}^{2}+\frac{1}{{k}^{2}}}{82+9（{k}^{2}+\frac{1}{{k}^{2}}）}$，
设t=k²+$\frac{1}{{k}^{2}}$（t≥2），则S=2•$\frac{2+t}{82+9t}$=2•$\frac{1}{9+\frac{64}{2+t}}$，
由t≥2可得2+t≥4，0＜$\frac{64}{2+t}$≤16，即有
$\frac{1}{25}$≤$\frac{1}{9+\frac{64}{2+t}}$＜$\frac{1}{9}$，
则$\frac{2}{25}$≤S＜$\frac{2}{9}$．
综上可得，$\frac{2}{25}$≤S≤$\frac{2}{9}$．
则当直线l₁的斜率为±1时，四边形ACBD的面积的最小值为$\frac{2}{25}$．