Question

19．数列{a_n}满足a_n+1=a_n²-a_n+1，a₁=2．
（1）比较a_n与a_n+2的大小；
（2）证明：${2^{{2^{n-1}}}}$＜a_n+1-1＜2²ⁿ（n≥2，n∈N^*）；
（3）记S_n=$\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+…+\frac{1}{a_n}$，求$\lim_{n→∞}{S_n}$．

Answer 1

分析 （1）通过a_n+1=a_n²-a_n+1与a_n作差，结合完全平方公式即得结论；
（2）利用数学归纳法来证明：验证n=2时命题成立；当n=k时假设${2^{{2^{k-1}}}}＜{a_{k+1}}-1＜{2^{2^k}}$成立，通过放缩可知当n=k+1时${2^{2^k}}＜{a_{k+2}}-1＜{2^{{2^{k+1}}}}$，进而可得结论；
（3）通过对a_n+1=a_n²-a_n+1变形、取倒数裂项可知$\frac{1}{a_n}=\frac{1}{{{a_n}-1}}-\frac{1}{{{a_{n+1}}-1}}$，进而并项相加计算可知${S_n}=1-\frac{1}{{{a_{n+1}}-1}}$，结合第（2）问即得结论．

解答 （1）解：∵a_n+1=a_n²-a_n+1，
∴${a_{n+1}}-{a_n}=a_n^2-2{a_n}+1={（{{a_n}-1}）^2}$，
又∵a₁=2，
∴a_n+1＞a_n，∴a_n+2＞a_n；
（2）证明：这里用数学归纳法来证明：
n=2时，${2^2}＜{a_3}-1＜{2^4}$成立；
当n=k时，假设${2^{{2^{k-1}}}}＜{a_{k+1}}-1＜{2^{2^k}}$成立，
则当n=k+1时，${a_{k+2}}=a_{k+1}^2-{a_{k+1}}+1={a_{k+1}}（{{a_{k+1}}-1}）+1≥（{{2^{{2^{k-1}}}}+1}）（{{2^{{2^{k-1}}}}+2}）+1={2^{2^k}}+2•{2^{{2^{k-1}}}}+3＞{2^{2^k}}+1$，${a_{k+2}}=a_{k+1}^2-{a_{k+1}}+1={a_{k+1}}（{{a_{k+1}}-1}）+1≤{2^{2^k}}（{{2^{2^k}}-1}）+1={2^{{2^{k+1}}}}-{2^{2^k}}+1＜{2^{{2^{k+1}}}}+1$，
∴${2^{2^k}}＜{a_{k+2}}-1＜{2^{{2^{k+1}}}}$，
综上可知：${2^{{2^{n-1}}}}＜{a_{n+1}}-1＜{2^{2^n}}$；
（3）解：∵a_n+1=a_n²-a_n+1，
∴a_n+1-1=a_n（a_n-1），
∴$\frac{1}{a_n}=\frac{1}{{{a_n}-1}}-\frac{1}{{{a_{n+1}}-1}}$，
利用并项相加法，计算可知${S_n}=1-\frac{1}{{{a_{n+1}}-1}}$，
根据第（2）问，$\frac{1}{{{2^{2^n}}}}＜\frac{1}{{{a_{n+1}}-1}}＜\frac{1}{{{2^{{2^{n-1}}}}}}$，
∴$\lim_{n→∞}{S_n}=1$．

点评 本题是一道关于数列与不等式的综合题，考查数学归纳法、裂项相消法，注意解题方法的积累，属于中档题．