Question

【题目】如图所示，四棱锥 的底面为直角梯形， ， ， ， ， 底面 ， 为 的中点.

（Ⅰ）求证：平面 平面
（Ⅱ）求直线 与平面 所成的角的正弦值.

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）以点 为坐标原点，以直线 ， ， 分别为 ， ， 轴建立空间直角坐标系 ，则 ， ， ， ， ， .

∴ ， ， ，

∴ ， ，

∴ ， ，

又 ， 平面 ， 平面 ，

∴ 平面 ，∵ 平面 ，

∴平面 平面

（Ⅱ） ， ，

设 是平面 的一个法向量，则 ，

∴ ，

令 ，则 ， ，即 ，

∴ ， ， ，

∴ .

∴直线 与平面 所成角的正弦值为 .

【解析】(1)由题意建立空间直角坐标系，分别求出各个点的坐标以及向量的坐标，结合向量的数量积坐标运算公式可求出结果等于零故得出D E ⊥ C A ， D E ⊥ C P再利用线面垂直以及面面垂直的判定定理即可得证。(2)根据题意建立空间直角坐标系，求出各个点的坐标进而求出各个向量的坐标，设出平面PDE的法向量，由向量垂直的坐标运算公式可求出法向量，再利用向量的数量积运算公式求出余弦值即可。