Question

如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，∠ADC＝90°，平面PAD⊥底面ABCD，Q为AD的中点，M是棱PC上的点，PA＝PD＝2，BC＝AD＝1，CD＝.

(1)求证：平面PQB⊥平面PAD；

(2)若M为棱PC的中点，求异面直线AP与BM所成角的余弦值；

(3)若二面角M－BQ－C的大小为30°，求QM的长．

Answer 1

解：(1)证明：证法一：∵AD∥BC，BC＝AD，Q为AD的中点，

∴四边形BCDQ为平行四边形，

∴CD∥BQ.

∵∠ADC＝90°，

∴∠AQB＝90°，

即QB⊥AD.

又∵平面PAD⊥平面ABCD，

且平面PAD∩平面ABCD＝AD，

∴BQ⊥平面PAD.

∵BQ⊂平面PQB，

∴平面PQB⊥平面PAD.

证法二：∵AD∥BC，BC＝AD，Q为AD的中点，

∴BC∥DQ且BC＝DQ，

∴四边形BCDQ为平行四边形，∴CD∥BQ.

∵∠ADC＝90°，

∴∠AQB＝90°，即QB⊥AD.

∵PA＝PD，∴PQ⊥AD.

∵PQ∩BQ＝Q，

∴AD⊥平面PBQ.

∵AD⊂平面PAD，∴平面PQB⊥平面PAD.

(2)∵PA＝PD，Q为AD的中点，

∴PQ⊥AD.

∵平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD＝AD，∴PQ⊥平面ABCD.

如图，以Q为原点建立空间直角坐标系Q－xyz，

则Q(0,0,0)，A(1,0,0)，P(0,0，)，B(0，，0)，C(－1，，0)．

∵M是PC的中点，

设异面直线AP与BM所成的角为θ，

则cos θ＝|cos〈，〉|

＝

∴异面直线AP与BM所成角的余弦值为.

(3)由(2)知平面BQC的一个法向量为n＝(0,0,1)．

∵二面角M－BQ－C的大小为30°，

即QM的长为.