题目内容

12．在半径为1的球面上有不共面的四个点A，B，C，D且AB=CD=x，BC=DA=y，CA=BD=z，则x2+y2+z2等于（　　）
A．2B．4C．8D．16

分析 构造长方体，其面上的对角线构成三棱锥D-ABC，计算出长方体的长宽高，利用勾股定理可得结论．

解答 解：构造一个长方体，使得四面体ABCD的六条棱分别是长方体某个面的对角线（如图）．
设长方体的长、宽、高分别为a，b，c，则
a2+b2+c2=4，x2=a2+b2，y2=a2+c2，z2=b2+c2，
故x2+y2+z2=2（a2+b2+c2）=8，
故选：C．

点评 本题考查球的内接三棱锥，考查学生的计算能力，构造长方体是关键．

练习册系列答案
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2．已知直线l1：ax+y-1=0，l2：2x+（a-1）y+2=0，若l1∥l2，则a=2，l1与l2的距离为$\frac{{3\sqrt{5}}}{5}$．
3．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线及粗虚线画出的是某多面体的三视图，则该多面体外接球的表面积为（　　）
A．8πB．$\frac{25}{2}$πC．12πD．$\frac{41}{4}$π
20．如图：在图O内切于正三角形△ABC，则S△ABC=S△OAB+S△OAC+S△OBC=3•S△OBC，即$\frac{1}{2}•|{BC}|•h=3•\frac{1}{2}•|{BC}|•r$，即h=3r，从而得到结论：“正三角形的高等于它的内切圆的半径的3倍”；类比该结论到正四面体，可得到结论：“正四面体的高等于它的内切球的半径的a倍”，则实数a=（　　）
A．2B．3C．4D．5
7．我们知道：正三角形的中心到三个顶点距离都相等，设为d；到三条边距离也相等，设为r，则$\frac{d}{r}$=2；类比到空间：正四面体也有中心，到四个顶点距离都相等且为d；到四个面距离也相等且为r，则$\frac{d}{r}$=（　　）
A．1B．2C．3D．4
17．设{an}，{bn}是两个等差数列，若cn=an+bn，则{cn}也是等差数列，类比上述性质，设{sn}，{tn}是等比数列，则下列说法正确的是（　　）
A．若rn=sn+tn，则{rn}是等比数列B．若rn=sntn，则{rn}是等比数列
C．若rn=sn-tn，则{rn}是等比数列D．以上说明均不正确
4．[B]在几何中可以类比平面几何的结论推理空间几何的结论，如平面内的三点共线类比空间中的四点共面．
（1）已知点A，B，C是平面内三点，若存在实数λ，使得$\overrightarrow{AB}$=$λ\overrightarrow{AC}$成立，则点A，B，C共线．类比上述结论，写出空间中四点共面的结论；
（2）已知（1）结论的逆命题正确，请利用其解决以下问题：已知点A，B，C，D是空间中共面的四点，|$\overrightarrow{AB}$|=2，|$\overrightarrow{AC}$|=1，∠BAC=90°，AD是△ABC的高，试用$\overrightarrow{AB}$、$\overrightarrow{AC}$表示$\overrightarrow{AD}$．
1．给出下列三个推理：
①由“若a，b，c∈R，则（ab）c=a（bc）”类比“若$\overrightarrow a，\overrightarrow b，\overrightarrow c$为三个向量，则（$\overrightarrow a$•$\overrightarrow b$）$\overrightarrow c$=$\overrightarrow a$（$\overrightarrow b$•$\overrightarrow c$）”；
②在数列{an}中，a1=0，an+1=2an+2，（n∈N*），由a2，a3，a4猜想an=2n-2；
③由“在平面内三角形的两边之和大于第三边”类比“在空间中四面体的任意三个面的面积之和大于第四个面的面积”．其中正确的是②③．
2．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M是线段A1C1的中点，若四面体M-ABD的外接球体积为36π，则正方体棱长为4．

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