Question

7．我们知道：正三角形的中心到三个顶点距离都相等，设为d；到三条边距离也相等，设为r，则$\frac{d}{r}$=2；类比到空间：正四面体也有中心，到四个顶点距离都相等且为d；到四个面距离也相等且为r，则$\frac{d}{r}$=（　　）

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 类比平面几何结论，推广到空间，则有结论：“$\frac{d}{r}$=3”．设正四面体ABCD边长为1，易求得AM=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，又O到四面体各面的距离都相等，所以O为四面体的内切球的球心，设内切球半径为r，则有r=$\frac{3V}{{S}_{表}}$，可求得r即OM，从而可验证结果的正确性．

解答 解：推广到空间，则有结论：“$\frac{d}{r}$=3”．
设正四面体ABCD边长为1，易求得AM=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，
又O到四面体各面的距离都相等，
所以O为四面体的内切球的球心，设内切球半径为r，
则有r=$\frac{3V}{{S}_{表}}$，可求得r即OM=$\frac{\sqrt{6}}{12}$，
所以AO=AM-OM=$\frac{\sqrt{6}}{4}$，所以$\frac{AO}{OM}$=$\frac{d}{r}$=3
故选：C．

点评 本题考查类比推理、几何体的结构特征、体积法等基础知识，考查运算求解能力，考查空间想象力、化归与转化思想．属于基础题．