Question

4．已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间[0，+∞]上单调递增，若实数a满足f（log₂a）+f（$lo{g}_{\frac{1}{2}}a$）≤2f（1），则a的取值范围是（　　）

• A． [1，2]
• B． （0，$\frac{1}{2}$]
• C． （0，2]
• D． [$\frac{1}{2}$，2]

Answer 1

分析 根据题意，函数f（x）在区间[0，+∞）单调递增且为偶函数，结合对数的运算性质可以将f（log₂a）+f（$lo{g}_{\frac{1}{2}}a$）≤2f（1）转化为|log₂a|≤1，解可得a的取值范围，即可得答案．

解答 解：根据题意，函数f（x）是定义在R上的偶函数，且log₂a=-$lo{g}_{\frac{1}{2}}a$，
则有f（log₂a）=f（$lo{g}_{\frac{1}{2}}a$）=f（|log₂a|），
f（log₂a）+f（$lo{g}_{\frac{1}{2}}a$）≤2f（1）⇒f（log₂a）≤f（1）⇒f（|log₂a|）≤f（1），
又由函数f（x）在区间[0，+∞）上单调递增，
则有|log₂a|≤1，
即有-1≤log₂a≤1，
解可得：$\frac{1}{2}$≤a≤2，即a的取值范围是[$\frac{1}{2}$，2]
故选：D．

点评 本题考查函数的单调性、奇偶性的综合应用，涉及对数基本运算，关键是充分利用函数的奇偶性进行转化变形．