Question

16．已知（$\root{3}{{x}^{2}}$+3x²）ⁿ的展开式中，各项系数的和与其各项二项式系数的和之比为32．
（1）求n；
（2）求展开式中二项式系数最大的项．

Answer 1

分析 （1）令二项式中的x=1得到展开式中的各项系数的和，根据二项式系数和公式得到各项二项式系数的和，据已知列出方程求出n的值．
（2）将n的值代入二项式，根据中间项的二项式系数最大，判断出二项式系数最大的项，利用二项展开式的通项公式求出该项．

解答 解：（1）令x=1，则（$\root{3}{{x}^{2}}$+3x²）ⁿ展开式的各项系数和为4ⁿ，又（$\root{3}{{x}^{2}}$+3x²）ⁿ展开式的各项二项式系数和为2ⁿ，
所以$\frac{{4}^{n}}{{2}^{n}}$=32，即2ⁿ=32，解得n=5；
（2）由（1）可知：n=5，所以（$\root{3}{{x}^{2}}$+3x²）⁵展开式的中间两项二项式系数最大，即
T₃=C₅²$（\root{3}{{x}^{2}}）^{3}$（3x²）²=90x⁶，
T₄=C₅³（$\root{3}{{x}^{2}}$）²（3x²）³=270x${\;}^{\frac{22}{3}}$．

点评 求二项展开式的系数和问题一般通过观察通过赋值求出系数和；求二项展开式的特定项问题，一般利用的工具是二项展开式的通项公式．