Question

已知直线l恒过定点（-1，-1），圆C的方程为x²+y²+2ax-2ay+a²=0（a≠0）．
（1）如果a=2时，直线l被圆C截得的弦长为2

3

，求直线l的方程；
（2）如果圆C上存在不同的两点到原点的距离都等于1，求实数a的范围．

Answer 1

考点：直线与圆的位置关系

专题：直线与圆

分析：（1）当a=2时，圆C的方程即 （x+2）²+（y-2）²=4，由于直线l被圆C截得的弦长为2

3

，可得弦心距d=

4-( 3 )2

=1．再分当直线l的斜率不存在时，当直线l的斜率存在时2中情况，分别求得要求直线l的方程．
（2）圆C的方程即 （x+a）²+（y-a）²=a²，表示以C（-a，a）为圆心，半径等于|a|的圆．由题意可得|OC|-1＞1，即

(-a)2+a2

＞2，由此求得a的范围．

解答： 解：（1）当a=2时，圆C的方程为x²+y²+4x-4y+2²=0，即 （x+2）²+（y-2）²=4，
表示以（-2，2）为圆心，半径等于2的圆．
由于直线l被圆C截得的弦长为2

3

，故弦心距d=

4-( 3 )2

=1．
当直线l的斜率不存在时，方程为x=-1，满足条件；
当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为 y+1=k（x+1），即 kx-y+k-1=0，
由d=

|-2k-2+k-1|

k2+1

=1，求得k=-

4

3

，故此时直线l的方程为 4x+3y+7=0．
故要求直线l的方程为x=-1，或4x+3y+7=0．
（2）圆C的方程为x²+y²+2ax-2ay+a²=0 即 （x+a）²+（y-a）²=a²，表示以C（-a，a）为圆心，半径等于|a|的圆．
如果圆C上存在不同的两点到原点的距离都等于1，|OC|-1＞1，即

(-a)2+a2

＞2，即 a²＞2．
解得 a＞

2

，或a＜-

2

，就所求的a的范围为 {a|a＞

2

，或a＜-

2

}．

点评：本题主要考查直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式的应用，体现了转化的数学思想，属于基础题．