Question

在（

x

-

1

2 4 x

）ⁿ（n≥3，n∈N^*）的展开式中，第2，3，4项的二项式系数依次成等差数列．
（1）证明展开式中没有常数项；
（2）求展开式中项的系数最大值；
（3）求展开式中所有的有理数．

Answer 1

考点：二项式系数的性质

专题：二项式定理

分析：（1）证明：由题意可得 2

C

2 n

=

C

3 n

+

C

1 n

，解得 n=7，可得（

x

-

1

2 4 x

）⁷的通项公式中，令x的幂指数等于0，r没有整数解，可得展开式中没有常数项．
（2）根据通项公式可得，系数最大的项必为奇数项（r为偶数，r=0，2，4，6），第r+1项的系数为

C

r 7

•(-

1

2

)r，检验可得，只有当r=2时，系数最大，从而求得系数最大的项．
（3）根据

14-3r

4

为有理数，且r=0，1，2，3，4，5，6，7，可得只有当r=2，或 r=6时，满足

14-3r

4

为有理数，从而求得展开式的有理项．

解答： 解：（1）证明：由题意可得 2

C

2 n

=

C

3 n

+

C

1 n

，解得 n=7，或 n=2（舍去）．
故（

x

-

1

2 4 x

）ⁿ=（

x

-

1

2 4 x

）⁷的通项公式为 T_r+1=

C

r 7

•(-

1

2

)r•x

14-3r

4

，
令

14-3r

4

=0，r没有整数解，故展开式中没有常数项．
（2）根据通项公式可得，系数最大的项必为奇数项（r为偶数，r=0，2，4，6），第r+1项的系数为

C

r 7

•(-

1

2

)r，
检验可得，只有当r=2时，系数最大，
故系数最大的项为 T₃=

C

r 7

•(-

1

2

)r•x²．
（3）根据通项公式可得，

14-3r

4

为有理数，且r=0，1，2，3，4，5，6，7，
故只有当r=2，或 r=6时，满足

14-3r

4

为有理数，故展开式的有理项为T₃=

C

2 7

•(-

1

2

)2•x²=

21

4

x²，T₇=

C

6 7

•(-

1

2

)6•x^-1=

7

64

x^-1．

点评：本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于基础题．