Question

【题目】如图，已知椭圆的右准线的方程为，焦距为.

（1）求椭圆的方程；

（2）过定点作直线与椭圆交于点（异于椭圆的左、右顶点）两点，设直线与直线相交于点.

①若，试求点的坐标；

②求证：点始终在一条直线上.

Answer 1

【答案】（1）点的坐标为， 的坐标为（2）见解析.

【解析】试题分析：（1）由椭圆的离心率公式和a，b，c的关系，解方程可得a，b，进而得到椭圆方程；（2）①求得直线MA1的方程和以MA2的方程，代入椭圆方程，求得交点P，Q的坐标；②设点M（x0，y0），求得直线MA1的方程和以MA2的方程，代入椭圆方程，求得交点P，Q的坐标，结合P，Q，B三点共线，所以kPB=kQB，化简整理，可得或．分别考虑，即可得到点M始终在一条定直线x=4上．

试题解析：

⑴由得 所以椭圆的方程为．

⑵①因为， ， ，所以的方程为，代入，

，即，

因为，所以，则，所以点的坐标为．

同理可得点的坐标为．

②设点，由题意， ．因为， ， 所以直线的方程为，代入，得，

即，因为，

所以，则，故点的坐标为．

同理可得点的坐标为．

因为， ， 三点共线，所以， ．

所以，即，

由题意， ，所以．

即．

所以，则或．若，则点在椭圆上， ， ， 为同一点，不合题意．故，即点始终在定直线上.