Question

【题目】已知数列{an}的前n项和是Sn，且Sn=1（n∈N），数列{bn}是公差d不等于0的等差数列，且满足：b1=，而b2，b5，ba14成等比数列．

（1）求数列{an}、{bn}的通项公式；

（2）设cn=anbn，求数列{cn}的前n项和Tn．

Answer 1

【答案】（1），；（2）

【解析】分析：（I）Sn=1（n∈N），n≥2时，Sn﹣1+an﹣1=1，相减可得：an﹣an﹣1=0，化为：an=an﹣1．利用等比数列的通项公式可得an．数列{bn}是公差d不等于0的等差数列，且满足：b1==1．由b2，b5，b14成等比数列．可得=b2b14，（1+4d）2=（1+d）（1+13d），d≠0．解得d．即可得出；（Ⅱ）设cn=anbn=，利用错位相减法即可得出．

详解：

（1）Sn=1（n∈N），n≥2时，Sn﹣1+an﹣1=1，相减可得：an﹣an﹣1=0，化为：an=an﹣1．

n=1时，a1+=1，解得a1=．

∴数列{an}是等比数列，首项为，公比为．∴an==2×．

数列{bn}是公差d不等于0的等差数列，且满足：b1==1．

∵b2，b5，b14成等比数列．∴=b2b14，

∴（1+4d）2=（1+d）（1+13d），d≠0．解得d=2．∴bn=1+2（n﹣1）=2n﹣1．

（2）设cn=anbn=．

求数列{cn}的前n项和Tn=+……+．

=+……++，

相减可得：Tn=+4﹣=+4×﹣，

化为：Tn=2﹣．