Question

【题目】已知是定义在上的奇函数，且，若，时，有.

（1）证明在上是增函数；

（2）解不等式；

（3）若对，恒成立，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】(1)见解析.

(2) .

(3) 或或.

【解析】分析：（1）任取，进而根据函数为奇函数推知，让除以再乘以配出的形式，进而判断出与0的关系，进而证明出函数的单调性；

（2）将不等式进行等价转化，利用函数的单调性进行求解；

（3）问题转化为，，恒成立，根据函数的单调性求出t的范围即可.

详解：（1）任取，

则 ，

∵，∴，

由已知，，

∴，即，

∴在在上是增函数；

（2）∵是定义在上的奇函数，且在上是增函数，

∴不等式化为，

∴，解得；

（3）由（1）知在上是增函数，

∴在上的最大值为，

要使对恒成立，只要，

设，对，恒成立，

∴ ，

∴或或.