Question

【题目】如图，在直三棱柱中， 、分别为、的中点， ， .

（1）求证： 平面；

（2）求三棱锥的体积.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）.

【解析】试题分析：（1）设为边的中点，连接， ，∵， 分别为， 的中点，根据三角形中位线定理以及题设条件可证明四边形为平行四边形，可得，从而根据线面平行的判定定理可得结论；（2）先证明平面，知，从而可得三角形的面积为，三角形的面积为，利用等积变换可得 .

试题解析：（1）设为边的中点，连接，

∵， 分别为， 的中点，

∴， ，

又∵， ，

∴， ，

∴ 四边形为平行四边形.

∴，

又平面， 平面，

∴平面，

（2）在直三棱柱中，

又，

平面， 平面， ，

∴平面，

知，可得三角形的面积为，三角形的面积为，

由（1）平面知： 到平面的距离等于到平面的距离

∴ .

【方法点晴】本题主要考查线面平行的判定定理、线面垂直的判定定理、利用等积变换求三棱锥体积，属于难题.证明线面平行的常用方法：①利用线面平行的判定定理，使用这个定理的关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线，可利用几何体的特征，合理利用中位线定理、线面平行的性质或者构造平行四边形、寻找比例式证明两直线平行.②利用面面平行的性质，即两平面平行，在其中一平面内的直线平行于另一平面. 本题（1）是就是利用方法①证明的.