Question

【题目】(2017·江苏高考)如图，在三棱锥ABCD中，AB⊥AD，BC⊥BD，平面ABD⊥平面BCD，点E，F(E与A，D不重合)分别在棱AD，BD上，且EF⊥AD.

求证：(1)EF∥平面ABC；

(2)AD⊥AC.

Answer 1

【答案】（1）见解析（2）见解析

【解析】试题分析：（1）先由平面几何知识证明，再由线面平行判定定理得结论；（2）先由面面垂直性质定理得平面，则 ，再由AB⊥AD及线面垂直判定定理得AD⊥平面ABC，即可得AD⊥AC．

试题解析：证明：（1）在平面内，因为AB⊥AD， ，所以.

又因为平面ABC， 平面ABC，所以EF∥平面ABC.

（2）因为平面ABD⊥平面BCD，

平面平面BCD=BD，

平面BCD， ，

所以平面.

因为平面，所以 .

又AB⊥AD， ， 平面ABC， 平面ABC，

所以AD⊥平面ABC，

又因为AC平面ABC，

所以AD⊥AC.

点睛:垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型：（1）证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行；（2）证明线面垂直，需转化为证明线线垂直；（3）证明线线垂直，需转化为证明线面垂直．