Question

【题目】设函数．

（1）讨论的单调性；

（2）当时， ，求的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）见解析（2）．

【解析】试题分析：（1）根据，对字母a分类讨论，求出函数的单调区间；（2）当时，分离参数，转化为分别求的最小值，及的最大值，利用导数，求其最大值即可.

试题解析：（1）．

若，则，在单调递增．若，当时， ；当时， ．于是在单调递减，在单调递增．

（2）方法1：当时， ，即

因为函数在单调递增，所以．

设， ，当时， ， 单调递增；当时， ， 单调递减．故 ，所以．综上， 的取值范围为．

（2）方法2：设，则当时， ．

由，得．

，当时， ， 单调递增，所以．

若，当时， ， 单调递增，故．因为，所以．

若，由， ，知在存在唯一零点，设为，则．

当时， ， 单调递减；当时， ， 单调递增；故在有最小值，而．由得．

由（1）得在单调递减，所以．

综上， 的取值范围为．