Question

【题目】设函数， .

（1）当时，讨论的单调性；

（2）当时， 恒成立，求的取值范围.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）．

【解析】试题分析；（1）根据，对进行求导，即可求出的单调性；（2）令，对求导后，对进行分类讨论，求出函数的单调性，然后求出，即可求出的取值范围.

试题解析：（1）当时， ， ，

由于，故当时， ， 单调递减，

当时， ， 单调递增．

（2）令 ，

则，

∵当时， 恒成立，

①若，则时， ， ，

此时不恒成立；

②若，由时， 恒成立，

则，则，

令，得或，

（ⅰ）若，则，

当时， ， 单调递减，

而，∴当时， ，此时不恒成立；

（ⅱ）若，则，

当时， ， 单调递减，

当时， ， 单调递增，

∴，此时恒成立；

（ⅲ）若，当时， ， 单调递增，

有，此时恒成立，

综上所述， ．

点睛:这个题目考查了导数在研究函数的单调性中的应用，在研究函数最值的应用；对于函数恒成立或者有解求参的问题，常用方法有：变量分离，参变分离，转化为函数最值问题；或者直接求函数最值，使得函数最值大于或者小于0；或者分离成两个函数，使得一个函数恒大于或小于另一个函数.