题目内容
【题目】无穷数列
满足： 
为正整数，且对任意正整数
， 
为前
项
， 
， 
， 
中等于
的项的个数.
（Ⅰ）若
，请写出数列
的前7项；
（Ⅱ）求证：对于任意正整数
，必存在
，使得
；
（Ⅲ）求证:“
”是“存在
，当
时，恒有
成立”的充要条件。
【答案】（Ⅰ）2，1，1，2，2，3，1；（Ⅱ）证明见解析；（Ⅲ）证明见解析.
【解析】试题分析：（Ⅰ）根据题设条件，直接写出即可；
（Ⅱ）假设存在正整数
，使得对任意的
， 
，利用反证法证明即可；
（Ⅲ）可分充分性和必要性证明即可，当
时，得数列
满足
， 
，当
为偶数，则
；当
为奇数，则
，即可证得充分性；再作出必要性的证明即可.
试题解析：
（Ⅰ）2，1，1，2，2，3，1
（Ⅱ）假设存在正整数
，使得对任意的
， 
. 由题意， 
考虑数列
的前
项：
， 
， 
，…， 
其中至少有
项的取值相同，不妨设
此时有： 
，矛盾.
故对于任意的正整数
，必存在
，使得
.
（Ⅲ）充分性：
当
时，数列
为
， 
， 
， 
， 
， 
， 
，…， 
， 
， 
， 
，…
特别地， 
， 
，故对任意的
（1）若
为偶数，则
（2）若
为奇数，则
综上， 
恒成立，特别地，取
有当
时，恒有成立
方法一:假设存在
（
），使得“存在
，当
时，恒有
成立”
则数列
的前
项为
， 
， 
， 
， 
， 
， 
， 
，…， 
， 
， 
， 
， 
， 
， 
， 
，…， 
， 
， 
， 
， 
， 
，…， 
， 
， 
， 
， 
， 
， 
， 
， 
， 
后面的项顺次为
， 
， 
， 
，…， 
， 
， 
， 
， 
，…， 
， 
， 
， 
， 
，…， 
， 
……
对任意的
，总存在
，使得
， 
，这与
矛盾，故若存在
，当
时，恒有
成立，必有
方法二：若存在
，当
时， 
恒成立，记
.
由第（2）问的结论可知：存在
，使得
（由s的定义知
）
不妨设
是数列
中第一个大于等于
的项，即
均小于等于s.
则
.因为
，所以
，即
且
为正整数，所以
.
记
，由数列
的定义可知，在
中恰有t项等于1.
假设
，则可设
，其中
，
考虑这t个1的前一项，即
，
因为它们均为不超过s的正整数，且
，所以
中一定存在两项相等，
将其记为a，则数列
中相邻两项恰好为（a，1）的情况至少出现2次，但根据数列
的定义可知：第二个a的后一项应该至少为2，不能为1，所以矛盾！
故假设
不成立，所以
，即必要性得证！
综上，“
”是“存在
，当
时，恒有
成立”的充要条件.
