Question

19．已知椭圆C：$\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{9}$=1的左焦点为F，点M是椭圆C上一点，点N是MF的中点，O是椭圆的中点，ON=4，则点M到椭圆C的左准线的距离为$\frac{5}{2}$．

Answer 1

分析 由题意画出图形，由已知求得M到右焦点的距离，然后结合三种圆锥曲线统一的定义得答案．

解答 解：如图，

由椭圆C：$\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{9}$=1，知a²=25，b²=9，
∴c²=a²-b²=16，∴c=4．
则e=$\frac{c}{a}=\frac{4}{5}$，
∵点N是MF的中点，O是椭圆的中心，ON=4，
∴|MF′|=8，则|MF|=2a-|MF′|=10-8=2，
设点M到椭圆C的左准线的距离为d，则$\frac{|MF|}{d}=e=\frac{4}{5}$，得d=$\frac{5}{2}$．
故答案为：$\frac{5}{2}$．

点评 本题考查椭圆的简单性质，考查数形结合的解题思想方法，考查三种圆锥曲线统一定义的应用，是中档题．