Question

4．若关于x的方程9^x+（a+4）•3^x+4=0有实数解，则实数a的取值范围是（　　）

• A． （-∞，-8]∪[0，+∞）
• B． （-∞，-4）
• C． [-8，-4）
• D． （-∞，-8]

Answer 1

分析 令3^x=t＞0，由条件可得a=$\frac{{t}^{2}+4t+4}{-t}=-4-（t+\frac{4}{t}）$，利用基本不等式和不等式的性质求得实数a的取值范围．

解答 解：令3^x=t＞0，则关于x的方程9^x+（4+a）•3^x+4=0 即 t²+（4+a）t+4=0 有正实数解．
故a=$\frac{{t}^{2}+4t+4}{-t}=-4-（t+\frac{4}{t}）$，
由基本不等式可得：t+$\frac{4}{t}$≥4，当且仅当t=$\frac{4}{t}$时，等号成立，
∴-（t+$\frac{4}{t}$）≤-4，即-4-（t+$\frac{4}{t}$）≤-8，
∴a≤-8，
∴a的取值范围是（-∞，-8]．
故选：D．

点评 本题考查根的存在性及根的个数判断，考查利用基本不等式求最值问题，同时考查转化思想和换元法，属中档题．