Question

12．函数f（x）=sin²x-acosx+2a-1的最大值为为g（a）（a∈R）．
（1）求g（a）的表达式；
（2）若认g（a）=-$\frac{7}{4}$，求a的值．

Answer 1

分析 （1）先根据同角三角函数的基本关系进行化简，然后转化为关于cosx的一元二次函数，再根据一元二次函数的性质与cosx的范围确定函数f（x）的最大值g（a）．
（2）根据（1）中的g（a）的解析式，进而求出a的值．

解答 解：（1）f（x）=sin²x-acosx+2a-1=-cos²x-acosx+2a=-（cosx+$\frac{a}{2}$）²+$\frac{{a}^{2}}{4}$+2a，
当-2≤a≤2时，g（a）=$\frac{{a}^{2}}{4}$+2a，
当a＜-2时，g（a）=-（1+$\frac{a}{2}$）²+$\frac{{a}^{2}}{4}$+2a=-1+a，
当a＞2，g（a）=-（-1+$\frac{a}{2}$）²+$\frac{{a}^{2}}{4}$+2a=-1+3a，
∴g（a）=$\left\{\begin{array}{l}{a-1，a＜-2}\\{\frac{1}{4}{a}^{2}+2a，-2≤a≤2}\\{3a-1，a＞2}\end{array}\right.$，
（2）g（a）=-$\frac{7}{4}$，
当a-1=-$\frac{7}{4}$时，解得a=-$\frac{3}{4}$（舍去），
当$\frac{{a}^{2}}{4}$+2a=-$\frac{7}{4}$时，解得a=-1．或a=-7（舍去），
当3a-1=-$\frac{7}{4}$时，解得a=-$\frac{1}{4}$（舍去），
综上所述a的值为-1．

点评 本题考查三角函数中的恒等变换应用，着重考查二次函数的配方法及单调性的应用，突出考查分类讨论思想与方程思想，考查综合应用能力，属于中档题．