Question

3．设函数y=f（x）的定义域为D，如果存在非零常数T，对于任意x∈D，都有f（x+T）=T•f（x），则称函数y=f（x）是“似周期函数”，非零常数T为函数y=f（x）的“似周期”．现有下面四个关于“似周期函数”的命题：①如果“似周期函数”y=f（x）的“似周期”为-1，那么它是周期为2的周期函数；②函数f（x）=x是“似周期函数”； ③函数f（x）=2^-x是“似周期函数”； ④如果函数f（x）=cosωx是“似周期函数”，那么“ω=kπ，k∈Z”．
其中真命题的个数为（　　）

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 由题意，首先理解似周期函数的定义，从而解得．

解答 解：①如果“似周期函数”y=f（x）的“似周期”为-1，
则f（x-1）=-f（x），即f（x-1）=-f（x）=-（-f（x+1））=f（x+1）；
故它是周期为2的周期函数；故①正确，；
②对于“似周期”为T的函数y=f（x），若f（T）＞0，则f（2015T）=T²⁰¹⁴′f（T）＞0；故②正确，
③若函数f（x）=x是“似周期函数”，
则存在非零常数T，使f（x+T）=T•f（x），
即x+T=Tx；故（1-T）x+T=0恒成立；
故不存在T．故假设不成立，故③错误；
④若函数f（x）=2^-x是“似周期函数”，
则存在非零常数T，使f（x+T）=T•f（x），
即2^-x-T=T•2^-x，
即（T-2^-T）•2^-x=0；
而令y=x-2^-x，作图象如下，
 
故存在T＞0，使T-2^-T=0；故④正确；
⑤若函数f（x）=cosωx是“似周期函数”，
则存在非零常数T，使f（x+T）=T•f（x），
即cos（ωx+ωT）=Tcosωx；
故T=1或T=-1；
故“ω=kπ，k∈Z”．故⑤正确；
故选：D．

点评 本题主要考查与函数有关的命题的真假判断，正确理解似周期函数的定义是解决本题的关键．