题目内容
一个圆柱形圆木的底面半径为1m，长为10m，将此圆木沿轴所在的平面剖成两个部分．现要把其中一个部分加工成直四棱柱木梁，长度保持不变，底面为等腰梯形
（如图所示，其中O为圆心，
在半圆上），设
，木梁的体积为V（单位：m3），表面积为S（单位：m2）．
（1）求V关于θ的函数表达式；
（2）求
的值，使体积V最大；
（3）问当木梁的体积V最大时，其表面积S是否也最大？请说明理由．
（1）
，（2）
，（3）当木梁的体积V最大时，其表面积S也最大．
解析试题分析：（1）解答实际问题关键读懂题意.本题所求体积为直四棱柱体积，体积为高与底面积的乘积.高为圆木的长，底面积为梯形的面积.利用角表示出梯形上下底及高，就可得到所求关系式. （2）先求出函数的导数
，再根据导数为零时，定义区间导数值的正负讨论其单调性，研究其图像变化规律，确定其极值、最值.本题函数先增后减，在时，取极大值，也是最大值.（3）本题实质是求表面积的最大值，并判断取最大值时是否成立.首先先建立表面积的函数关系式.表面积由两部分组成，一是底面积，二是侧面积. 底面积为梯形的面积，有两个. 侧面积为梯形周长与圆木的长的乘积.再利用导数求出其最大值及取最大值时角的取值.
试题解析：（1）梯形的面积
=
，
． 2分
体积． 3分
（2）
．
令
，得
，或
（舍）．
∵，∴． 5分
当
时，
，
为增函数；
当
时，
，
为减函数． 7分
∴当时，体积V最大． 8分
（3）木梁的侧面积
=
，． 
=
，． 10分
设
，．∵
，
∴当
，即时，
最大． 12分
又由（2）知时，取得最大值，
所以时，木梁的表面积S最大． 13分
综上，当木梁的体积V最大时，其表面积S也最大． 14分
考点：利用导数求函数最值
练习册系列答案
相关题目
.
时，
恒成立，求m的取值范围；
时，求证：
.
，
，
，记
.
在
处的切线方程；
的单调区间；
时，若函数
的取值范围.
.
时，求函数
在
上的最大值；
，若
在区间
上不单调，求
的取值范围；
的图像与x轴交于两点
，且
，又
是
的导函数，若正常数
满足条件
.证明：
.
与函数
在点
处有公共的切线，设
.
的值
在区间
上的最小值.
．
在
处取得极值，求实数
的值；
上没有零点，求实数
的取值范围．
,
． 
在
上的最小值；
是自然对数的底数，
，使不等式
成立，求实数
的取值范围．
x2－mlnx＋(m－1)x，当m≤0时，试讨论函数f(x)的单调性；