Question

已知定点M（0，2），N（-2，0），直线l：kx-y-2k+2=0（k为常数）．若点M，N到直线l的距离相等，则实数k的值是______；对于l上任意一点P，∠MPN恒为锐角，则实数k的取值范围是______．

Answer 1

由点M（0，2），N（-2，0）到直线l：kx-y-2k+2=0的距离相等可得

|0-2-2k+2|

k2+1

=

|-2k -0-2k+2|

k2+1

，解得 k=1，或 k=-

1

3

．
直线l：kx-y-2k+2=0 即 y=k（x-2）+2．
设点P（m，k（m-2）+2），则

PM

=（-m，2k-km），

PN

=（-2-m，2k-km-2），
由

PM

•

PN

=-m（-2-m）+（2k-km）（2k-km-2）=（1+k²）m²+（2-4k²+2k）m+4k²-4k＞0恒成立，
且

MP

和 

PN

不共线．
故有判别式△＜0，且-m（2k-km-2）-（2k-km）（-2-m）≠0．
解得 k＜-

1

7

，或 k＞1，
故答案为 1或

1

3

； (-∞，-

1

7

)∪(1，+∞)．