Question

（2012•海淀区二模）已知定点M（0，2），N（-2，0），直线l：kx-y-2k+2=0（k为常数）．若点M，N到直线l的距离相等，则实数k的值是

1或

1

3

；对于l上任意一点P，∠MPN恒为锐角，则实数k的取值范围是

(-∞，-

1

7

)∪(1，+∞)

．

Answer 1

分析：由点M（0，2），N（-2，0）到直线l：kx-y-2k+2=0的距离相等，利用点到直线的距离公式求得k的值．
由题意可得，以MN为直径的圆与直线l：kx-y-2k+2=0相离，故圆心H（-1，1）到直线l：kx-y-2k+2=0
的距离大于半径，即

|-k-1-2k+2|

k2+1

＞

2

，由此解得k的范围．

解答：解：由点M（0，2），N（-2，0）到直线l：kx-y-2k+2=0的距离相等可得

|0-2-2k+2|

k2+1

=

|-2k -0-2k+2|

k2+1

，解得 k=1，或 k=-

1

3

．
由于对于l上任意一点P，∠MPN恒为锐角，故以MN为直径的圆与直线l：kx-y-2k+2=0相离．
而MN的中点，即圆心为H（-1，1），则点H到直线l：kx-y-2k+2=0的距离大于半径

1

2

•MN=

2

，
即

|-k-1-2k+2|

k2+1

＞

2

，即 （1-3k）²＞2（1+k²），
解得 k＜-

1

7

，或 k＞1，
故答案为 1或

1

3

； (-∞，-

1

7

)∪(1，+∞)．

点评：本题主要考查点到直线的距离公式，直线和圆的位置关系，绝对值不等式的解法，体现了转化的数学思想，
属于中档题．