Question

已知定点M（0，2），N（0，-2），Q（2，0），动点P满足m|

PQ

|2-

MP

•

NP

=0，（m∈R）．
（1）求动点P的轨迹方程，并说明轨迹的形状；
（2）当m=0时，求|2

MP

+

NP

|的取值范围．

Answer 1

分析：（1）设出动点P的坐标，根据已知点的坐标写出向量

PQ

，

MP

，

np

的坐标，代入m|

PQ

|2-

MP

•

NP

=0后即可得到动点P的横纵坐标所满足的函数关系式，对m的取值分类可得动点P的轨迹；
（2）由m=0得到点P的坐标的关系是x²+y²=4，由此得到y的取值范围是-2≤y≤2，结合x²+y²=4，把|2

MP

+

NP

|化简后仅用常数和y表示，则|2

MP

+

NP

|的取值范围可求．

解答：解：（1）设动点P（x，y），又M（0，2），N（0，-2），Q（2，0），
则

MP

=(x，y-2)，

NP

=(x，y+2)，

PQ

=(2-x，-y)，
∴|

PQ

|2=(2-x)2+y2，

MP

•

NP

=x2+y2-4，
由m|

PQ

|2-

MP

•

NP

=0，∴m[（2-x）²+y²]-（x²+y²-4）=0，
即（m-1）x²+（m-1）y²-4mx+4m+4=0．
若m=1，方程为x=1，表示过点（2，0），且平行于y轴的直线；
若m≠1，方程为(x-

2m

m-1

)2+y2=(

2

m-1

)2，表示以(

2m

m-1

，0)为圆心，以

2

|m-1|

为半径的圆．
（2）当m=0时，方程为x²+y²=4
∴|2

MP

+

NP

|=|2(x，y-2)+(x，y+2)|
=|（3x，3y-2）|=

(3x)2+(3y-2)2

=

9(x2+y2)-12y+4

=

40-12y

．
又∵-2≤y≤2，则16≤40-12y≤64，所以，所求|2

MP

+

NP

|的范围为[4，8]．

点评：本题考查了轨迹方程的求法，考查了分类讨论得数学思想，考查了向量模的计算，解题过程中体现了整体运算思想，属中档题．