Question

12．函数f（x）=a^x（a＞0，且a≠1），若f（3a）＞$\sqrt{a}$，则实数a的取值范围为（　　）

• A． （0，$\frac{1}{2}$）∪（1，+∞）
• B． （0，$\frac{1}{2}$）∪（1，2）
• C． （0，$\frac{1}{6}$）∪（1，+∞）
• D． （0，$\frac{1}{6}$）∪（1，6）

Answer 1

分析 根据指数函数f（x）=a^x的图象与性质，把指数不等式化为等价的不等式，求出解集即可．

解答 解：∵f（x）=a^x（a＞0，且a≠1），
∴不等式f（3a）＞$\sqrt{a}$可化为a^3a＞${a}^{\frac{1}{2}}$；
当a＞1时，f（x）=a^x在定义域R上是增函数，
∴3a＞$\frac{1}{2}$，解得a＞$\frac{1}{6}$，
应取a＞1；
当0＜a＜1时，f（x）=a^x在定义域R上是减函数，
∴3a＜$\frac{1}{2}$，解得a＜$\frac{1}{6}$，
应取0＜a＜$\frac{1}{6}$；
∴实数a的取值范围是（0，$\frac{1}{6}$）∪（1，+∞）．
故选：C．

点评 本题考查了利用指数函数的图象与性质求不等式解集的问题，也考查了转化思想的应用问题，是基础题目．