Question

2．已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且当x≥0时，f（x）=x|x-2|．若关于x的方程f²（x）+af（x）+b=0（a，b∈R）恰有10个不同实数解，则a的取值范围为（-2，-1）．

Answer 1

分析 根据函数的奇偶性求出f（x）的解析式，令t=f（x），将方程转化为一元二次函数，由根与系数之间的关系进行求解即可．

解答 解：设x＜0，则-x＞0，满足表达式f（x）=x|x-2|．
∴f（-x）=-x|-x-2|=-x|x+2|，
又∵f（x）为偶函数，∴f（-x）=f（x），
∴f（x）=-x|x+2|，
故当x＜0时，f（x）=-x|x+2|．
则f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{x|x-2|，}&{x≥0}\\{-x|x+2|，}&{x＜0}\end{array}\right.$，
作出f（x）的图象如图：
设t=f（x），
由图象知，当t＞1时，t=f（x）有两个根，
当t=1时，t=f（x）有四个根，
当0＜t＜1时，t=f（x）有六两个根，
当t=0时，t=f（x）有三个根，
当t＜0时，t=f（x）有0个根，
则方程[f（x）]²+af（x）+b=0等价为t²+at+b=0，
若方程[f（x）]²+af（x）+b=0（a∈R）恰好有1个不同实数解，
等价为方程t²+at+b=0有两不同的根，
且0＜t₁＜1，t₂=1，
则t₁+t₂=-a，
即1＜t₁+t₂＜2，
则1＜-a＜2，
即-2＜a＜-1，
则a的取值范围为（-2，-1），
故答案为：（-2，-1）

点评 本题考查函数的单调性和奇偶性的运用，主要考查方程与函数的零点的关系，利用换元法转化为一元二次方程根与系数之间的关系是解决本题的关键．