题目内容
8．已知函数f（x）=（x2+ax+b）ex，当b＜1时，函数f（x）在（-∞，-2），（1，+∞）上均为增函数，则$\frac{a+b}{a-2}$的取值范围是（ ）| A． | （-2，$\frac{2}{3}$] | B． | [-$\frac{1}{3}$，2） | C． | （-∞，$\frac{2}{3}$] | D． | [-$\frac{2}{3}$，2] |
分析 根据：求导公式求出函数的导数，在根据二次函数图象求出a，b的取值范围，绘制出a，b的取值范围，根据线性规划求出其取值范围．
解答 解：由f′（x）=[x2+（a+2）x+a+b]ex
函数f（x）在（-∞，-2），（1，+∞）增函数，
∴x2+（a+2）x+a+b＞0恒成立，
$\left\{\begin{array}{l}{4-2（a+2）+a+b≥0}\\{1+（a+2）+a+b≥0}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{-a+b≥0}\\{2a+b+3≥0}\end{array}\right.$，
$\frac{a+b}{a-2}=z$
∴b=（z-1）a-2z，
设y=（z-1）x-2z，
$\left\{\begin{array}{l}{-x+y≥0}\\{2a+b+3≥0}\end{array}\right.$，
由图象可知在点B（-1，-1）取最大值为z=$\frac{2}{3}$，在点A（1，1）取最小值z=-2
$\frac{a+b}{a-2}$的取值范围为（-2，$\frac{2}{3}$]，
故答案选：A．
点评 考察学生函数求导、二次函数的性质及线性规划问题，属于中档题．
练习册系列答案
相关题目
17．已知函数f（x）=cos（4x-$\frac{π}{3}$）+2cos2（2x），将函数y=f（x）的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，再将所得函数图象向右平移$\frac{π}{6}$个单位，得到函数y=g（x）的图象，则函数y=g（x）的一个单调递增区间为（ ）
| A． | [-$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{6}$] | B． | [-$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{4}$] | C． | [$\frac{π}{6}$，$\frac{2π}{3}$] | D． | [$\frac{π}{4}$，$\frac{3π}{4}$] |
3．设f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{4{x}^{3}+6{x}^{2}+2（x≤0）}\\{2{e}^{ax}（x＞0）}\end{array}\right.$在区间[-2，2]上最大值为4，则实数a的取值范围为（ ）
| A． | [$\frac{1}{2}$ln2，+∞] | B． | [0，$\frac{1}{2}$ln2] | C． | （-∞，0] | D． | （-∞，$\frac{1}{2}$ln2] |
20．复数$\frac{-i}{1-2i}（i$是虚数单位）的共轭复数为（ ）
| A． | $-\frac{2}{5}+\frac{i}{5}$ | B． | $-\frac{2}{5}-\frac{i}{5}$ | C． | $\frac{2}{5}-\frac{i}{5}$ | D． | $\frac{2}{5}+\frac{i}{5}$ |
