Question

【题目】已知数列中，，且，其前项和为，且为等比数列.

（Ⅰ）求数列的通项公式；

（Ⅱ）若，记数列的前项和为.设是整数，问是否存在正整数，使等式成立？若存在，求出和相应的值；若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）答案见解析.

【解析】

（Ⅰ）首先求得前n项和，然后利用通项公式与前n项和的公式即可确定数列的通项公式；

（Ⅱ）首先求得数列的通项公式，然后分类讨论和两种情况即可确定和相应的值是否存在.

（Ⅰ）由题意可得：，结合题意可知：

故：.

（Ⅱ）当时，.而，

由此，当时，，

从而等式即为，解得，它不是整数，不符合题意.

当时，.

则等式即为，解得.

由是整数，得是5的因数.而当且仅当时，是整数，由此.

综上所述，当且仅当时，存在正整数，使等式成立.