Question

13．已知F₁、F₂是双曲线E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，点M在E的渐近线上，且MF₁与x轴垂直，sin∠MF₂F₁=$\frac{1}{3}$，则E的离心率为（　　）

• A． $\frac{\sqrt{6}}{2}$
• B． $\frac{3}{2}$
• C． $\sqrt{3}$
• D． 2

Answer 1

分析 根据MF₁与x轴垂直，sin∠MF₂F₁=$\frac{1}{3}$，得到tan∠MF₂F₁=$\frac{1}{2\sqrt{2}}$，MF₁=$\frac{bc}{a}$，求解即可．

解答 解：∵MF₁与x轴垂直，sin∠MF₂F₁=$\frac{1}{3}$，
∴tan∠MF₂F₁=$\frac{1}{2\sqrt{2}}$，MF₁=$\frac{bc}{a}$
∴$\frac{\frac{bc}{a}}{2c}$=$\frac{1}{2\sqrt{2}}$，∴b=$\frac{\sqrt{2}}{2}$a
∴c=$\sqrt{{a}^{2}+\frac{1}{2}{a}^{2}}$=$\frac{\sqrt{6}}{2}$a，
∴e=$\frac{\sqrt{6}}{2}$
故选：A．

点评 本题主要考查双曲线离心率的计算，根据双曲线的定义结合直角三角形的勾股定理，结合双曲线离心率的定义是解决本题的关键．