Question

18．已知在数列{a_n}中，a₁=1，a_n+1=2a_n+n-1，n∈N^*．
（1）证明：数列{a_n+n}是等比数列；
（2）求数列{a_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析 （1）由a_n+1=2a_n+n-1，n∈N^*．变形为a_n+1+n+1=2（a_n+n），n∈N^*．即可证明．
（2）由（1）得a_n+n=2ⁿ，利用等差数列与等比数列的求和公式即可得出．

解答 （1）证明：由a_n+1=2a_n+n-1，n∈N^*．
可得a_n+1+n+1=2（a_n+n），n∈N^*．
又a₁+1=2，所以数列{a_n+n}是以2为首项，以2为公比的等比数列．
（2）解：由（1）得a_n+n=2ⁿ，
故a_n=2ⁿ-n，
所以数列{a_n}的前n项和S_n=$\frac{2（{2}^{n}-1）}{2-1}$-$\frac{n（n+1）}{2}$=2ⁿ⁺¹-2-$\frac{n（n+1）}{2}$．

点评 本题考查了数列递推关系、通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．